এক সমান দুই: ক্যালকুলাসীয় নাটক

কেউ যখন গণিত নিয়ে প্রথম প্রথম একটু ঘাটাঘাটি শুরু করে তাহলে নিশ্চিতভাবে তাদের চোখে একটা জিনিস পরবেই, সেটা হচ্ছে এক আর দুই যে সমান তার প্রমাণ। প্রত্যেকক্ষেত্রে প্রমাণগুলো শেষ হয় কোন একটি গাণিতিক নিয়ম ভাঙা নিয়ে(যেমন শূণ্য দিয়ে ভাগ করা) কিংবা বিষয়টা বুঝার ক্ষেত্রে অসংগতি সৃষ্টির কারনে(যেমন একই ধারার কেমন ভিন্ন যোগফল হওয়া)।

তবে এই রকম আজিব আজিব ঝামেলা তৈরি হওয়ার কারনে একটা বড় রকমের সুবিধা আমাদের হয় কিন্তু। গণিতের নিয়ম কানুনে ফাঁকফোকর গুলো সহজে আমাদের চোখে পড়ে যায়।

কিন্তু সাধারণত যেসব পদ্ধতিগুলো আমাদের চোখে পড়ে তাদের মাঝে অধিকাংশই কিন্তু একেবারে সাধারন কোন প্রক্রিয়ায় ঘটে। আমরা এখন রাস্তার কিছুটা বাইরে যেতে পারি, কারন পুরনো পদ্ধতিতে এক আর দুইকে সমান প্রমাণ করে কোন মজা নাই। আজ আমরা ক্যালকুলাস দিয়ে প্রমাণ করে দেখাব এক আর দুই সত্যি সত্যি সমান কি না!

 

$\triangleright$ 1=2

কাজটা এমনিতে খুবই সহজ। প্রথমে আমরা ${x^2}$ এর ডিফারেন্সিয়েশন করি।

আমরা জানি,

$\frac{d}{{dx}}{x^n} = n.{x^{n - 1}}$

এ থেকে দেখানো যায়,

$\frac{d}{{dx}}{x^2} = 2.{x^{2 - 1}} = 2x$

এবার আমরা এই একই ডিফারেন্সিয়েশন করব, তবে একটু অন্য উপায়ে। তার জন্য আমাদের জানতে হবে যে ${x^2}$ মানে কি।

${x^2}$ মানে হচ্ছে $x$ কে $x$ দিয়ে গুণ করা অর্থাৎ সহজ ভাষায় $x$ সংখ্যক $x$। তাহলে ${x^2}$ কে লিখা যায়,

${x^2} = x + x + x + x + x................x$ সংখ্যক ${x^{}}$

এখন এর ডিফারেন্সিয়েশন করে দেখা যাক

$\frac{d}{{dx}}{x^2} = \frac{d}{{dx}}x + \frac{d}{{dx}}x + \frac{d}{{dx}}x + \frac{d}{{dx}}x + \frac{d}{{dx}}x + ................. + \frac{d}{{dx}}x$

$= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ............................x$ সংখ্যক

$= x$

তারমানে দেখা যাচ্ছে যে,

$\frac{d}{{dx}}{x^2} = 2x = x$

2 = 1!

ক্যালকুলাস দিয়ে দেখানো গেল দুই সমান এক!

 

$\triangleright$ কেন এমন হয়

এমন হওয়ার কারনটা কী? কারনটা খু্বই সহজ। আমরা দ্বিতীয়বার যখন x এর ডিফারেন্সিয়েশন করেছি তখন ${x^2}$ কে x সংখ্যক x এর যোগফল হিসেবে ভেঙে ফেলেছি। অন্তরকলন বা ডিফারেন্সিয়েশনটা করা হয়েছে ওটাকে। এবং এখানেই লুকিয়ে আছে শুভঙ্করের ফাঁকি।

আমরা বলেছি x সংখ্যক x আছে। কিন্তু কথা হচ্ছে x এর যে সংখ্যাটা সেটা নিজেই তো একটা চলক, মানে x! আমরা কেমন করে একটি অজানা রাশিকে অগ্রাহ্য করে পুরো ডিফারেন্সিয়েশনটা করে ফেলতে পারি? অর্থাৎ, ${x^2}$ কে x সংখ্যক x এর যোগফল হিসেবে লিখাটা কোন দোষের নয়। কিন্তু ডিফারেন্সিয়েশন করার সময় শুধু ধারার x গুলোর হিসেব করলে চলবে না, এদের সংখ্যাটাকেও বিবেচনায় রাখতে হবে। তবেই আর কোন রকমের সমস্যা হবে না।

ডিফারেন্সিয়েশনের মানে হচ্ছে পরিবর্তনের হার হিসেব করা। যখন x+x+x+x+x+…………..+x এর x গুলোর পরিবর্তন হতে থাকে, তখন ধারাটিতে x এর সংখ্যারও পরিবর্তন হতে থাকবে। এই পরিবর্তনটুকোকে জাহাজের ব্যাপারী বানিয়ে দিলে ১ সমান ২ না, ১ সমান ২০০০ পর্যন্ত দেখিয়ে দেয়া সম্ভব। সুতরাং ভয় পাওয়ার কোন কারন নেই, ক্যালকুলাসও দুনিয়ার নিয়ম ভেঙে ফেলতে পারবে না।